Terminator 2: Judgment Day se estrenó en 1991 y fue dirigida por James Cameron, que ya había dirigido la primera entrega en 1984. La película cuenta con Arnold Schwarzenegger repitiendo su icónico papel como el cyborg Terminator, acompañado por Linda Hamilton como Sarah Connor, Edward Furlong como su hijo John Connor, y Robert Patrick como el implacable T-1000. La cinta fue un éxito absoluto tanto de taquilla como de crítica, y ganó cuatro premios Oscar en categorías técnicas: mejores efectos visuales, sonido, edición de sonido y maquillaje. Hoy sigue siendo un referente en el cine de ciencia ficción y acción.
La importancia de Terminator 2 va más allá de su espectacularidad. Supuso una revolución en los efectos especiales, especialmente con la tecnología del T-1000, y consolidó la saga como una de las más influyentes del género. La película se ha convertido en objeto de culto, gracias a sus icónicas frases, su crítica al desarrollo descontrolado de la inteligencia artificial, y su poderosa narrativa sobre el destino, la tecnología y la humanidad. Incluso más de treinta años después, sigue despertando debates sobre el futuro y la ética de las máquinas.
La historia nos sitúa unos años después de la primera película. Un nuevo Terminator es enviado al pasado con una misión: proteger al joven John Connor, futuro líder de la resistencia humana frente a las máquinas. Sarah Connor, su madre, se ha convertido en una guerrera decidida a impedir el juicio final: el día en que Skynet, una inteligencia artificial militar, tome conciencia de sí misma y provoque el exterminio nuclear de la humanidad. Juntos, intentarán detener la creación de Skynet antes de que sea demasiado tarde. Aquí el trailer:
Uno de los momentos más memorables de la película, desde una perspectiva matemática, ocurre pasados setenta y cinco minutos. El Terminator le explica a Sarah lo inevitable: “Se aprobará el presupuesto del Skynet. El sistema se conectará el 4 de agosto de 1997. Se eliminarán las decisiones humanas en la defensa estratégica. Skynet aprenderá en progresión geométrica. Tendrá conciencia de sí mismo a las 2 y 14 de la madrugada del 29 de agosto. Los humanos aterrados intentarán desconectarlo" Lo vemos aquí:
Nos centraremos en la frase, “aprenderá en progresión geométrica”, que es la que nos interesa analizar.
Recordemos qué es una progresión. En matemáticas, una progresión es una sucesión ordenada de números que siguen una regla específica. En el caso de las progresiones geométricas, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razón. Por ejemplo, en la sucesión 1, 2, 4, 8, 16,... la razón es 2, porque cada número es el doble del anterior.
Las progresiones geométricas tienen una característica muy interesante: crecen muy rápidamente si la razón es mayor que 1. En pocos pasos, los valores se disparan. Esto explica por qué en la película se utiliza esta expresión para describir el aprendizaje de Skynet. No aprenderá poco a poco, sino de forma acelerada, multiplicando su conocimiento de forma exponencial hasta volverse incontrolable. Es una forma muy cinematográfica (y bastante precisa) de sugerir que su evolución será veloz e imparable.
Pero cuidado: no todas las progresiones geométricas crecen. Si la razón está entre 0 y 1, los términos cada vez son más pequeños. Por ejemplo, en la sucesión 1, 0.5, 0.25, 0.125,... la razón es 0.5. En este caso, en lugar de crecer, los valores tienden a cero. Así que una progresión geométrica no siempre significa crecimiento, todo depende de la razón que se utilice.
Entendemos perfectamente lo que se quería transmitir en esa frase de la película: Skynet aprenderá tan rápido que los humanos no podrán seguirle el ritmo. La progresión geométrica es, en este contexto, una excelente metáfora del peligro del aprendizaje automático descontrolado. Pero como todo en matemáticas, conviene matizar y entender bien los conceptos. Porque cuando se trata del futuro... no hay que dejarlo todo en manos de las máquinas.
Partía como una clara candidata al Oscar a mejor película, aunque finalmente no ha sido así, y ha ganado sólo tres premios (fotografía, banda sonora y actor principal) dejando el codiciado premio en manos de Anora. No obstante, "The Brutalist", la película de Brady Corbet, ha sido calificada por muchos críticos como una obra maestra. La película, protagonizada por Adrien Brody en el papel de László Tóth, un arquitecto húngaro que emigra a Estados Unidos en la posguerra, se adentra en los desafíos personales y profesionales de su protagonista. A través de una narrativa elegante y una estética visual impactante, Corbet construye un relato que explora el idealismo, la ambición y las adversidades que conlleva perseguir un sueño en una tierra extranjera. Aquí podéis ver su trailer:
Desde su presentación en el Festival de Venecia, "The Brutalist" ha sido alabada por su meticulosa dirección artística y su poderosa historia, que ahonda en las contradicciones de la modernidad arquitectónica. La película pone en primer plano la lucha de Laszlo por plasmar su visión en un mundo en el que los intereses económicos y las exigencias del mercado chocan con el arte y la innovación. El brutalismo, estilo arquitectónico en el que se inscribe su obra, sirve de metáfora para la dureza de la vida del protagonista y la solidez de sus principios. La estructura de la película es ambiciosa y sigue un desarrollo narrativo que mezcla la historia personal del arquitecto con los cambios sociopolíticos de la época, mostrando cómo estos afectan su trabajo y sus oportunidades.
Uno de los aspectos más fascinantes de "The Brutalist" es su retrato de la arquitectura como una disciplina que combina arte, funcionalidad y matemática. Laszlo, como arquitecto, no solo debe enfrentarse a desafíos estéticos y de diseño, sino que también debe lidiar con cálculos estructurales, mediciones precisas y conversiones de unidades de medida. En este sentido, la película nos brinda una oportunidad para explorar el papel fundamental que juegan las matemáticas en la arquitectura.
Matemáticas en la Arquitectura
La arquitectura es una disciplina que depende en gran medida de los principios matemáticos, ya que combina creatividad con precisión técnica. Desde la geometría, que permite diseñar estructuras equilibradas y proporcionales, hasta el cálculo estructural, que garantiza la estabilidad y resistencia de los edificios, las matemáticas están presentes en cada fase del proceso arquitectónico. La trigonometría es esencial para calcular ángulos y alturas en el diseño de fachadas y techos inclinados, mientras que el álgebra y el cálculo diferencial se utilizan para determinar la distribución de cargas y tensiones en una estructura. Además, la optimización matemática ayuda a maximizar el uso eficiente del espacio y los materiales, reduciendo costes y desperdicios en la construcción.
En el caso de Laszlo, como arquitecto, su trabajo no se limita a la estética; debe asegurarse de que sus diseños sean no solo visualmente impactantes, sino también funcionales, estructuralmente viables y energéticamente eficientes. Para ello, es crucial aplicar principios matemáticos en la planificación de dimensiones, la orientación de los edificios para aprovechar la luz natural y la resistencia de los materiales utilizados. Incluso conceptos más avanzados, como la teoría de fractales, han influido en el diseño de estructuras modernas y en la planificación urbana. Aunque no se muestran explícitamente en The Brutalist, Laszlo no consiente que otros arquitectos modifiquen las medidas de sus diseños, que han sido calculados con la meticulosidad con la que Laszlo aborda su profesión, reflejando cómo la arquitectura es, en esencia, una manifestación matemática del arte y la funcionalidad.
Para ilustrar los ejemplos del uso de las matemáticas podemos usar dos escenas de la película. En primer lugar, alrededor del minuto 88, cuando vemos a Laszlo caminar por un terreno mientras mide distancias con un aparato. Se trata de un odómetro de rueda. Este instrumento, utilizado en topografía y construcción, permite calcular longitudes recorriendo el área de interés y contando las vueltas que da la rueda.
Matemáticamente, el cálculo se basa en la relación entre el número de vueltas y la circunferencia de la rueda. Si el diámetro de la rueda fuera, por ejemplo, de 0,5 metros, su circunferencia se calcularía con la fórmula:
C = π × d = π × 0,5 ≈ 1,57 metros por vuelta.
Si Laszlo registra 100 vueltas, podemos estimar que ha recorrido aproximadamente 157 metros. Este tipo de medición es fundamental en arquitectura y urbanismo, ya que permite obtener con precisión las dimensiones del espacio en el que se construirá una estructura. En la historia de la arquitectura, este tipo de mediciones han sido utilizadas desde la antigüedad, con herramientas como la cuerda de nudos en la arquitectura egipcia o los odómetros mecánicos en la Roma clásica.
Unos pocos minutos después, en otra escena clave, Laszlo presenta la maqueta de su nuevo proyecto ante Harrison, su familia y Leslie Woodrow, el constructor. Durante la presentación, Laszlo menciona presenta la construcción que con un total de 2.684 metros cuadrados incluirá distintas estancias, incluyendo una capilla, una biblioteca y un gimnasio. Esta presentación la hace mostrando una maqueta escala de la obra.
En arquitectura, estas representaciones en miniatura permiten visualizar proyectos antes de ser construidos. La escala de una maqueta es fundamental para que se puedan interpretar correctamente las proporciones y el diseño del edificio. Por ejemplo, si una maqueta está construida a escala 1:100, significa que cada metro de la estructura real se representa con 1 centímetro en la maqueta. Si la escala es 1:50, cada metro real equivale a 2 centímetros en la maqueta.
El cálculo de escalas también es importante para la representación gráfica de planos y se utiliza en distintos formatos, como el 1:500 para planos generales de urbanismo o el 1:20 para detalles arquitectónicos. La precisión en estas representaciones es esencial, ya que cualquier error en la escala puede llevar a problemas en la fase de construcción.
En la mencionada escena, el constructor, dice que, si no ha entendido mal, el edificio tendrá más de 800.000 pies cuadrados. Esta cifra difiere de la dada por Laszlo, lo que nos hace reflexionar los motivos.
Por un lado el momento ilustra una dificultad común en la comunicación internacional, el uso de distintas unidades de medida. Por un lado Laszlo utiliza metros cuadrados, en base al Sistema Métrico Internacional, utilizado en la mayoría de los países, incluyendo Hungría su país de procedencia; por otro lado Leslie utiliza los pies cuadrados, es decir, el sistema imperial (utilizado en Estados Unidos).
Un metro equivale aproximadamente a 3,28084 pies, lo que significa que para convertir una medida en metros a pies basta con multiplicar la cantidad de metros por este factor. Por ejemplo, si una viga arquitectónica mide 10 metros de largo, su equivalente en el sistema imperial sería aproximadamente 32,8 pies.
Cuando se trata de medir superficies, como en el caso de los edificios, la conversión se realiza al cuadrado. Un metro cuadrado equivale a 10,764 pies cuadrados, ya que al convertir unidades de área, se debe elevar al cuadrado el factor de conversión lineal. En la escena en la que Laszlo menciona que su construcción tiene una superficie de 2.684 metros cuadrados, en el sistema imperial esa misma medida equivale aproximadamente a 28.886 pies cuadrados (2.684 × 10,764). Sin embargo, Leslie menciona un número mucho mayor, refiriéndose a "más de 800.000 metros cuadrados".
Planteamos dos posibilidades a esta diferencia. Una opción es que es una muestra de los problemas de comunicación entre el arquitecto y el constructor (simbolismo de las diferencias de perspectivas entre ambos y a su vez entre el emigrante y el americano). Este malentendido refleja un problema común en la industria de la construcción cuando se trabaja en proyectos internacionales. La conversión incorrecta de unidades de medida ha llevado a errores históricos significativos, como el famoso caso del Mars Climate Orbiter, donde la NASA perdió una sonda espacial debido a una conversión incorrecta entre libras-fuerza y newtons.
Un segundo planteamiento es que el constructor podría estar hablando no del área interior del edificio, sino de la superficie total de los materiales necesarios considerando fachadas, suelos y otras estructuras externas. Aunque, si fuera así, estaría hablando en base a datos no expuestos por Laszlo sino a sus propios cálculos.
En cualquier caso, "The Brutalist" no solo nos ofrece un drama profundo sobre la lucha de un arquitecto, sino que también nos brinda una oportunidad para reflexionar sobre la importancia de las matemáticas en la arquitectura. Desde la medición de terrenos con un odómetro hasta la conversión de unidades y la construcción de maquetas a escala, la película nos recuerda que el arte y la ciencia están profundamente entrelazados. Además, el malentendido sobre las unidades de medida nos muestra cómo los pequeños detalles matemáticos pueden generar confusión y errores si no se manejan con precisión.
Hoy quiero hablar de una película que nos brinda una valiosa lección sobre probabilidad y la independencia de los eventos en nuestras vidas: "De Caperucita a loba", dirigida por Chus Gutiérrez. Esta comedia española nos sumerge en las peripecias amorosas de Marta, interpretada y guionizada por Marta González de Vega. Previamente, ella había escrito el libro en el que se basa la película, titulado "De Caperucita a loba en solo seis tíos".
La película nos presenta a Marta, una mujer que, tras una serie de desafortunadas experiencias amorosas, comienza a cuestionarse si alguna vez encontrará a la pareja ideal. En una conversación con su amiga Carolina, interpretada por la talentosa Martita de Graná, Marta expresa su frustración y su percepción de que todos los hombres con los que se encuentra le salen "rana". Se queja de que no es normal y de que ya le debería tocar uno bueno.
Es en este punto de la conversación cuando Carolina le dice que está cayendo en la "falacia del jugador". Esta falacia se basa en la creencia errónea de que la ocurrencia de ciertos eventos aleatorios está influenciada por eventos pasados, cuando en realidad cada evento es independiente y las probabilidades no cambian con el tiempo. Carolina ilustra esto con el ejemplo de lanzar una moneda al aire: aunque la probabilidad de que salga cara o cruz es del 50% en cada lanzamiento, no hay garantía de que después de una serie de caras, el próximo lanzamiento sea cruz. Cada lanzamiento es independiente y las probabilidades siguen siendo las mismas.
Esta escena nos permite explorar conceptos matemáticos clave. La probabilidad es una medida de la certeza o la incertidumbre de un evento y se expresa como un número entre 0 y 1, donde 0 significa que el evento es imposible y 1 significa que es seguro que ocurra. En el ejemplo de lanzar una moneda, la probabilidad de que salga cara o cruz en cada lanzamiento es del 50%, lo que significa que hay igual probabilidad de que ocurra uno u otro resultado.
Además, la independencia de los eventos aleatorios es una propiedad fundamental en la teoría de la probabilidad. Un evento es independiente de otro si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. En el caso de los juegos de azar, como lanzar una moneda o tirar un dado, los resultados pasados no afectan a los futuros. Esto se extiende a otros escenarios, como las apuestas o incluso las relaciones humanas: que Marta haya tenido una serie de malas experiencias amorosas no significa que la siguiente relación tenga más probabilidades de ser buena.
Otro concepto matemático que podemos analizar en esta escena es la "ley de los grandes números". Esta ley establece que, a medida que se repite un experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un resultado se acercará a su probabilidad teórica. Es decir, si lanzamos una moneda al aire miles de veces, veremos que aproximadamente el 50% de las veces sale cara y el otro 50% cruz. Sin embargo, en una serie corta de eventos, puede haber rachas inusuales. Marta está atrapada en la idea de que después de tantas malas experiencias, "le toca" una buena, cuando en realidad, las probabilidades de que el próximo chico sea el adecuado no han cambiado.
Otra falacia que se puede relacionar con la situación de Marta es la "falacia de la mano caliente". Esta es la creencia contraria a la falacia del jugador y se da en situaciones donde se piensa que si se ha tenido éxito varias veces seguidas, es más probable que se siga teniendo éxito. Se ha estudiado en deportes como el baloncesto, donde algunos creen que si un jugador ha encestado varios tiros seguidos, tendrá más probabilidad de encestar el siguiente, aunque en realidad cada lanzamiento es independiente.
La reacción de Marta ante esta revelación es comprensible y sincera. Se da cuenta de que su creencia en que su mala racha en el amor debe terminar pronto es una ilusión basada en la falacia del jugador. La conversación entre Marta y su amiga nos invita a reflexionar sobre la importancia de comprender que en el mundo de la probabilidad, los sucesos son independientes entre sí. No importa cuántas malas experiencias haya tenido Marta en el pasado, estas no tienen ninguna influencia en la probabilidad de que tenga una buena experiencia en el futuro.
"De Caperucita a loba" nos recuerda que en el juego de la vida y el amor, no hay garantías ni patrones predecibles. Cada suceso es independiente y está sujeto a la aleatoriedad. Es importante entender esta verdad matemática para evitar tomar decisiones erróneas basadas en suposiciones incorrectas sobre la probabilidad de eventos futuros. Al final, la única forma de aumentar las probabilidades de éxito es tomar decisiones informadas, aprender de la experiencia y no dejarse llevar por falsas creencias estadísticas.
"Spider-Man: Lejos de casa" (2019) es la segunda entrega de la trilogía de Spider-Man dirigida por Jon Watts, que sigue a Peter Parker, interpretado por Tom Holland. La película también cuenta con actuaciones destacadas de Zendaya, Jake Gyllenhaal, Samuel L. Jackson y Marisa Tomei. La historia comienza después de los eventos de "Avengers: Endgame", con Peter Parker tratando de llevar una vida normal después de la pérdida de su mentor, Tony Stark. Durante un viaje escolar a Europa, Peter se encuentra con Mysterio, interpretado por Jake Gyllenhaal, un supuesto superhéroe de otra dimensión. Pronto descubre que las cosas no son lo que parecen y debe enfrentarse a nuevas amenazas mientras intenta proteger a sus amigos y asumir su responsabilidad como Spider-Man. Aquí puedes ver el trailer:
La película recoge varios momentos que podemos relacionar con las matemáticas. Por ejemplo, en el minuto 10 de la película, Peter Parker lleva una camiseta con un ingenioso problema matemático:
La camiseta muestra un triángulo rectángulo con los catetos etiquetados y la instrucción "Find x" (encuentra x). La solución está humorísticamente escrita en rojo, rodeando la "x" y añadiendo "I found it" (la encontré). Esta broma matemática hace referencia al Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Matemáticamente, esto se expresa como:
donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Este teorema es fundamental en geometría y tiene aplicaciones en diversas áreas como la construcción, la navegación y la física.
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Avanzando en la película, alrededor del minuto 59, Spider-Man se encuentra persiguiendo al Dr. Strange en la dimensión espejo, un entorno surrealista donde las leyes de la física parecen estar distorsionadas. En medio de la persecución, Peter reconoce una espiral de Arquímedes y se da cuenta de que la dimensión espejo está basada en geometría pura. Reflexiona: "Un momento, ¿eso es una espiral de Arquímedes? ¿La dimensión espejo solo es geometría pura? Tú eres un as de la geometría. Usa la geometría". Luego continúa: "Eleva el radio al cuadrado, divídelo por pi, catapultas a lo largo de la curva".
La espiral de Arquímedes es una curva que se define por la ecuación r = a + b\theta, donde r es el radio y \( \theta \) es el ángulo. En la vida real, las espirales de Arquímedes se pueden observar en la naturaleza, como en las conchas de ciertos moluscos y en la disposición de las semillas de girasol. Estas espirales también tienen aplicaciones prácticas en la ingeniería y la tecnología, por ejemplo, en el diseño de antenas, engranajes y bombas de agua.
Finalmente, durante los créditos finales de la película, suena la canción "Three is a Magic Number" de De La Soul. Esta canción celebra el número tres y sus propiedades únicas. La letra destaca cómo el número tres aparece en varios contextos significativos y culturales. Matemáticamente, el número tres es especial por varias razones: es el primer número primo impar, es un número triangular y es parte de la secuencia Fibonacci. Además, el tres tiene una presencia importante en la religión, la literatura y la simbología, a menudo asociado con conceptos de equilibrio y armonía.
Durante los créditos, los espectadores pueden ver diversos elementos matemáticos representados como dibujos de cómics, lo que añade un toque educativo y visualmente atractivo al cierre de la película. Algunos ejemplos de esos elementos son:
• El triángulo de Penrose:
Es una figura imposible, un objeto que no puede existir en el espacio tridimensional, aunque su representación bidimensional parece real. Cada esquina del triángulo de Penrose parece estar conectada de una manera que desafía la lógica, creando una ilusión óptica que hace que el triángulo parezca perfectamente normal a primera vista, pero imposible cuando se observa más detenidamente.
• Un triángulo medial:
Un triángulo formado por los puntos medios de los lados de otro triángulo. El triángulo medial tiene propiedades interesantes; es similar al triángulo original y su área es exactamente la mitad del área del triángulo original. Además, sus lados son paralelos a los lados del triángulo original.
• Escaleras imposibles tipo Escher:
Escaleras que parecen continuar indefinidamente en una dirección, creando un bucle infinito. Popularizadas por el artista M.C. Escher, estas escaleras representan una paradoja visual donde cada segmento parece lógicamente correcto, pero en conjunto, forman una estructura imposible.
• Espiral Arquimediana:
Una espiral matemática en la que la distancia entre giros sucesivos es constante. Es común en la naturaleza y la ingeniería, apareciendo en fenómenos como las bobinas de los relojes y las caracolas.
• Espiral de Fibonacci:
Una espiral que se aproxima a la espiral dorada y se forma mediante cuadrados cuyas longitudes de lado corresponden a los números de Fibonacci. La secuencia de Fibonacci se define como una serie donde cada número es la suma de los dos anteriores (0,1,1,2,3,5,8,...0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...0,1,1,2,3,5,8,...). Esta espiral aparece frecuentemente en la naturaleza, como en las conchas de nautilus, los girasoles y las piñas.
Otras muchas figuras matemáticas:
"Spider-Man: Lejos de casa" combina acción, humor y referencias intelectuales, utilizando conceptos matemáticos de manera creativa para enriquecer la narrativa y desarrollar el carácter de Peter Parker. Desde la camiseta humorística hasta la aplicación de la geometría en situaciones de alta tensión, la película demuestra cómo las matemáticas pueden ser tanto una herramienta práctica como una fuente de entretenimiento.
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