La pizarra de Wonder

Hay películas que probablemente nunca serán señaladas entre las mejores pero sin embargo logran convencer a todo aquel que la ve hasta verla varias veces. Cuando una de esas películas además transmite buenos valores se hace ideal para verla en clase con alumnos. Una de esas películas es Wonder (Stephen Chbosky, 2017)

La película esta basada en la novela "La lección de August" de R. J. Palacio, y narra la historia de un niño de 10 años con una deformidad en la cara que se incorpora por primera vez a clase. Para ello se afronta la historia desde los distintos personajes: Auggie (el niño), Via (la hermana), sus amigos Joel y Summer, y Miranda amiga de Via. 

Además cuenta con Julia Roberts en el papel de la madre de Auggie y Owen Wilson como el padre. Veámos el trailer:

Con esta película podemos tratar en clase, por ejemplo en tutoría, temas como el bullying o acoso escolar, la familia, las apariencias, la amistad... Pero además podemos dedicar unos minutos a las matemáticas.

Hasta los 10 años Auggie ha estado sometido a distintas operaciones por lo que no ha podido ir a clases normales, quedando su educación en función de su madre. En este tiempo ha manifestado especial interés por las ciencias, siendo todo un erudito. Vemos "restos" de esas clases dadas en casa en un par de escenas de la película, si le prestamos atención a una pizarra.

 Analizándolo  con más detalle:

Vemos en la pizarra que se han estado trabajando ecuaciones. Lo cual de por sí es llamativo ya que August tiene 10 años!!! En USA las ecuaciones se estudian en 10th grade (15-16 años) y en España se introducen en 1º ESO (13-14 años). 

Pero es más, algunas de esas ecuaciones incluyen la incógnita en el denominador lo que complica considerablemente la dificultad y se corresponderían con un nivel varios años mayor (4º ESO en España, 15-16 años).

¡Auggie va más de 5 cursos adelantado a su edad!... Ni Sheldon Cooper!

Seguramente la verdadera razón es que el encargado del atrezzo de la película se haya pasado cuatro pueblos al colocar esa pizarra con matemáticas tan avanzadas para esa edad, pero a nosotros nos ha llamado la atención.

Y tú, ¿cuáles de esas operaciones eres capaz de resolver? Te retamos a resolver esos ejercicios de la pizarra:

- Ecuaciones 3, 4 y 5 con x en el denominador

- Sistema de ecuaciones de ejemplo.

- Además tenemos resuelto otro sistema paso a paso pero no podemos ver cuál es. ¿Serías capaz de plantearlo?

Debajo de esta foto tendrás las soluciones

Soluciones: - Ecuaciones:3) x=6/5      4)   x= 8    5)  x= -1
          - Sistema:  x= -4    y = 4
          - Plantear sistema:   3x - y = 6  ;     2x + y = 9

• ¿Conocías la película? ¿Qué te parece?
• ¿Has sido capaz de resolver los ejercicios de la pizarra?

"¡Al diablo la campana de Gauss!"

Quizás en las últimas semanas haciendo zapping te has encontrado con la película que hoy tratamos en el blog, porque la han repetido varias veces en el canal de tv Neox. Si lo has hecho probablemente habrás visto un trozo y habrás pensado algo como "Vaya un truño de película" y es que hoy no hablamos de ningún peliculón, ni de un clásico. Hoy hablamos de la comedia de ciencia ficción "Evolution" (Ivan Reitman, 2001)

Protagonizada por David Duchovny, Orlando Jones, Julianne Moore y Sean William Scott, el guión de la película inicia con la caída de un meteorito que contiene células con vida, y que evolucionan con extrema rapidez. Con ese punto de partida podría ser una interesante película de ciencia ficción o incluso de terror, pero la verdad es que es una comedia con un humor bastante... mejor mira el trailer y opina tu mismo...

Aunque no es una película a recomendar, para algunos puede estar en la categoría de "películas que me gustan y no me atrevo a reconocer", pero lo cierto es que el inicio de la película nos da para hablar un poco de Matemáticas. En concreto en esta escena:

Ira, el personaje interpretado por David Duchovny, califica de "anomalía estadística" que la mayoría tenga sobresaliente. "¡Al diablo la campana de Gauss!" exclama. Pero ¿sabemos a qué se refiere?

La campana de Gauss es la representación gráfica de una distribución estadística llamada distribución Normal. De esta distribución ya hablamos hace poco en el post "La Binomial de Spiderman" Es la distribución estadística más importante porque se encuentra en gran variedad de fenómenos, y además otras muchas distribuciones se pueden aproximar a la normal bajo ciertas condiciones.

¿En qué se caracteriza esta distribución?

Como decíamos la gráfica de esta distribución tiene forma de campana de forma que la mediana, la media aritmética y la moda de la distribución se encuentran en su centro (en el pico). La mitad de la población se encuentra a un lado, y la otra mita en el otro. La curva desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central

Entre las poblaciones que siguen esta distribución están muchos indicadores económicos, los errores de medición en experimentos científicos, las mediciones de inteligencia y aptitud y las calificaciones de diversas pruebas. Por tanto es normal que Ira, hombre de ciencias, esperara que las notas de sus alumnos también la siguiera y por tanto la mayor parte de las notas estuvieran en torno al aprobado y pocos tuvieran sobresalientes y suspensos bajos.

¿Sabes que en algunas pruebas, por ejemplo en oposiciones, se "normalizan" los resultados? Por ejemplo, en un test de 250 preguntas el 10 no tiene por qué estar en responder las 250 preguntas bien, sino al ver los resultados de todos los alumnos se aproximan a la distribución normal... Si te interesa puedes leer un poco más en este post  https://es.wikihow.com/hacer-una-curva-para-ponderar-notas-o-calificaciones

• ¿Conoces la película? ¿Qué te parece?
• ¿Conocías la campana de Gauss? ¿Qué sabes de sus aplicaciones?
• Te animamos a que comentes este post o nos plantees nuevas películas a tratar en el blog.

La vida es bella

"¡Buenos días, princesa!" Si has visto la película estoy seguro que recuerdas esta frase con una sonrisa. Si no la has visto, ¿a qué esperas?, te estás perdiendo una de las mejores películas de todos los tiempos. Aquí el trailer:

¿Qué tiene de especial La vida es bella (Roberto Benigni, 1997)? Abordar un tema como el holocausto nazi con un punto cómico no es tarea fácil y menos conseguir que la película funcione tanto como comedia romántica y a la vez drama, hasta el punto de conseguir que se coloque en la primera posición del ranking de "películas que más me han emocionado" en filmaffinity y entre las primeras tanto en el ranking general de filmaffinity y imdb. Logrando además los Oscar a mejor actor (Roberto Benigni)  y película de habla extranjera así como las nominaciones a mejor película, director, guión, BSO, etc

Pero, ¿qué puede tener que ver con las Matemáticas una comedia sobre el holocausto? Algunos pensarían que el personaje del Dr. Lessing, un médico aficionado a los acertijos, pero nosotros nos vamos a fijar en estas dos escenas:

Guido (Roberto Beningni) entra a trabajar como camarero de un hotel, y repasando las normas de protocolo y buen servicio, y a la vez repasando los ángulos matemáticos.

Como Guido indica con su postura, el ángulo recto es el que forma 90º. Si recordamos si es menor de 90º decimos que es agudo mientras que si es mayor lo llamamos obtuso.

La segunda escena transcurre más avanzada la película, y se aprecian las ideas fascistas tratando el antisemitismo y la idea del exterminio a través de esta mujer alemana y ante la mirada atónita de Dora (la amada de Guido). Esta mujer parece ser profesora de escuela (habla de sus alumnos de 3º grado), y dice estar sorprendida por este problema:

Un demente cuesta al estado 4 marcos diarios, un mutilado 4,5, un epiléptico 3,5. 

Visto que la cuota media es de 4 marcos diarios y que los pacientes son 300.000,

 ¿cuánto se ahorraría el estado si estos individuos fueran eliminados?

Mientras Dora y su madre parecen sorprendidos de la crueldad del tema del problema, tanto la profesora como hasta el momento novio de Dora se sorprenden únicamente del grado de dificultad. Nosotros obviamente compartimos el punto de vista de Dora pero desde el blog lo vamos a tratar desde un punto de vista matemático.

Desde un punto de vista matemático para que la solución planteada por el novio de Dora sea válida el número de mutilados, epilépticos y dementes sea el mismo, es decir, 100.000 enfermos de cada tipo. Si no fuera así la cuota media no sería representativa porque sería más correcto utilizar una media ponderada, es decir, una media que tuviera en consideración el número de enfermos de cada tipo sobre el total.

Para que veamos la diferencia entre una media ponderada y una aritmética normal lo mejor es ver el siguiente ejemplo:

Obviamente no es lo mismo una media de 6,05 y otra de 6,75. Lo mismo ocurriría con el problema planteado en la escena de la película.

Aparte de estas dos escenas con algo de matemáticas, La vida es bella es una película de visión obligatoria que desde CineMaths te animamos a ver.

• ¿La has visto ya? ¿Qué te parece?
• Comenta estas dos escenas
• ¿Has entendido la diferencia entre las dos medias?

Viaja en el tiempo con los Vengadores

Para sorpresa de todos Vengadores: Infinity War (Anthony y Joe Russo, 2018) nos dejaba helados con un final en el que el todopoderoso Thanos conseguía acabar con la mitad del universo, incluyendo superhéroes como Spiderman, Black Panther, Doctor Extraño, Starlord, Groot... (mira la imagen de abajo para repasar quiénes sabemos quedaban vivos y quienes no tras Infinity War). Tras este final parecía obvio que esto no podía quedar así y que de alguna manera en la secuela Vengadores: Endgame (Anthony y Jose Russo, 2019) nos los traería de vuelta. Pero, ¿cómo sería?

Pongámonos en situación de cómo nos dejó Infinity War y qué esperabamos de Endgame viendo el trailer:

"El mundo ha cambiado tanto y no se puede volver atrás" y "A veces lo mejor que podemos hacer es volver a empezar" son frases que, junto con otros detalles del trailer, sirvieron de base para distintas teorías que hacían suponer que la clave estaba en los viajes en el tiempo. Y, perdón por este pequeño spoiler, así es.

Y, ¿cómo conseguir viajar en el tiempo? Es fácil adivinar que si alguien es capaz desarrollar una tecnología para ello debía ser Tony Stark, quién tras muchas dificultades conseguirá la clave para dichos viajes. Y, posiblemente te pasó desapercibida, pero esa clave tiene mucho que ver con las matemáticas. Veámoslo en esta escena:

Tras muchos intentos y ya casi a la desesperada, Tony manda hacer una simulación con la forma de una cinta de Moebius.  Pero ¿sabes qué forma es esa? y ¿quién fue Moebius?

Crear una banda de Moebius es sencillo, basta con tomar una tira de papel y pegar sus extremos girando antes uno de ellos 180 grados. La figura resultante tiene unas particularidades sorprendentes: Posee una única cara y un único borde. Para comprobarlo, basta con recorrer con un dedo el borde de la cinta, hasta comprobar que se ha recorrido todo sin levantarlo en ningún momento, y por ejemplo, pasar un lápiz por la cara de la banda, comprobando que al regresar al punto de partida, las supuestas dos caras del objeto han quedado marcadas. Esto quiere decir que no podemos hablar de parte de arriba o de abajo, pues es un objeto no orientable. Si no lo has entendido por escrito seguramente este video te lo deje más claro (y además verás algunas aplicaciones)

¿Qué más tiene de especial esta figura? Se utiliza en campos tan dispares como la Matemática, el Arte, la Ingeniería, la Ciencia, la Arquitectura, la Música, el Diseño, la Literatura, etc., ya sea de manera explícita o como una metáfora. Simboliza especialmente el infinito y la naturaleza cíclica por eso su representación del reciclado.

¿Y por qué esta forma en los Vengadores? Pues deberíamos preguntárselo a los guionistas pero aquí van nuestras teorías:
- La banda de Moebius se asocia al infinito y con ella recuperamos a los superhéroes muertos en Infinity War, por las joyas del infinito.
- La banda de Moebius se asocia también a la continuidad, algo que preocupa normalmente en los viajes en el tiempo.
- También se asocia a los ciclos, y con Vengadores: Endgame está claro que acabamos un ciclo para empezar uno nuevo (está vez no haremos spoiler del final pero está claro que las cosas han cambiado definitivamente para algunos superhéroes).

¿Y quién fue Moebius? Fue un matemático alemán conocido especialmente por la banda de con su nombre, pero además desarrolló la transformación de Möbius, importante en geometría proyectiva y  la transformada de Möbius, usada en teoría de números.

• ¿Has visto Vengadores: Endgame? ¿Qué te parece?
• ¿Observaste que hacía referencia a la banda de Moebius? ¿La conocías?
• ¿Cual de nuestras teorías te parece más acertada?

Por último os dejamos este mapa de viajes en el tiempo de Engame:

La duda razonable

Hoy traemos al blog una de las películas más importantes de la historia del cine. Con una valoración media de 8,7 puntos es la tercera película con mayor puntuación en la web filmaffinity, la quinta para Imdb, y en el top10 de la mayoría de críticos cinematográficos. Se trata de Doce hombres sin piedad (Sidney Lumet, 1957)

Esta obra maestra, que como curiosidad diremos perdió el Oscar frente a El puente sobre el rio Kwai, transcurre sobre el proceso de decisión de inocencía/culpabilidad de un jurado, es decir de decidir sentencia del mismo. Lo que parecía un caso claro, comenzará a complicarse dando lugar a que temas como los prejuicios, la conciencia, o la pena de muerte entren a escena.

Si no has visto esta película no tardes en hacerlo, seguro no te arrepentirás. Además de un magnifico guión recopila interpretaciones magistrales de los 12 miembros del jurado, destacando Henry Fonda. Puedes abrir boca viendo esta significativa escena:

Sin embargo la escena que hemos elegido para analizar la presencia de matemáticas es la siguiente:

Son tres los temas que podemos tratar gracias a esta escena. Para comenzar hay un claro uso de cálculos de velocidades:

Para validar el testimonio de uno de los testigos debemos de ver si su versión es creíble. Para ello vemos que recorre un total de 16 metros en 15 segundos, lo cual cambian las magnitudes se corresponde a 64 metros/min, es decir, 3,84 km/h. Una velocidad impropia de un anciano con dificultades de andar. Pero además dentro de los 15 segundos se incluye el tiempo que el anciano dedica a sacar las llaves y abrir la puerta, por tanto la velocidad es aún mayor. Por tanto las matemáticas nos sirven para invalidar este testimonio.

Por otro lado, la escena nos permite hablar del cambio de las distintas magnitudes utilizadas. El plano expresa las medidas en pies. En 1959, el acuerdo internacional sobre la yarda y la libra definió el pie como exactamente 0,3048 metros (304,8 mm). Si realizamos el cambio de unidades vemos que la conversión no es correcta: los 43 pies de pasillo se corresponden con 13,1064 metros pero en la traducción al castellano se habla de 12 metros; y mientras que en inglés se habla de 12 pies de la cama a la puerta, los 3,6576 metros de equivalencia no se corresponden con los 4 metros de la versión en castellano.  Entendemos que este error es intencionado como redondeo y para simplificar el doblaje, pero a nosotros nos da la oportunidad de tratar este tema.

Por último vamos a hacer referencia a una expresión que hemos escuchado en la escena. Se trata de la siguiente: "por enésima vez". Esta expresión tiene origen matemático. Hace referencia a un número desconocido y alto. En concreto el uso de la letra n viene de los números naturales, se suele utilizar en fórmulas tales como las expresiones factoriales, o los sumatorios, siendo el último de un gran número de veces:

• ¿Has visto la película? Danos tu opinión de la misma y si no no tardes en verla.
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• ¿Crees que las matemáticas son útiles en el mundo judicial?
• ¿Sabrías cambiar de pies a metros o al revés?
• ¿Conocías el origen de la expresión "por enésima vez"?

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La Binomial de Spiderman

La supremacía de Disney - Pixar sobre el resto de productoras de animación queda demostrada por la taquilla y los premios. Desde que en 2002 se introdujera el premio a mejor película de animación en pocas ocasiones el galardón ha ido a otra productora Las pocas excepciones (Shrek, El viaje de Chihiro, Wallace & Gromit, Happy Feet y Rango) coinciden con años en los que Disney no ha lanzado ninguna película o ha sido una película menor (ej. Lilo & Stich). Lo mismo ocurre si analizamos  los ganadores de los premios Annie (Asociación Internacional de Películas Animadas). Sin embargo este año una película se imponía con creces a sus grandes apuestas cómo la esperada Los increíbles 2 o Ralph rompe internet, (e incluso Isla de perros de Wes Anderson) consiguiendo, además del galardón  el aplauso de público y crítica. Hablamos de Spiderman: Un nuevo universo.

¿Cómo a estas alturas una película de Spiderman consigue tener este éxito? La respuesta está por un lado en su estética (muy inspirada en el mundo del comic) y un argumento que une acción con dosis de humor. A falta de un Spiderman, en esta película el protagonista Miles Morales, un adolescente afroamericano, se encontrará con sus similares en universos paralelos muy distintos: el conocido Peter Parker, Spider-Gwen una versión femenina, Spider-Man su alter-ego en cine negro, Peni Parker versión manga futurista e incluso Spider-cerdo. Conócelos en este trailer:

Centrándonos en el protagonista, Miles Morales es un adolescente de Brooklyn que acaba de acceder a un prestigioso instituto privado, aunque el preferiría quedarse con sus amigos de siempre en su anterior centro. Eso le llevará a la siguiente escena que vamos a tratar:

Comencemos, aunque sea algo más anecdótico por observar la pizarra de clase y ver qué están estudiando:

Tanto a la izquierda del todo como sobre la cabeza de la profesora vemos que están trabajando integrales o primitivas, mientras que a la derecha lo que vemos es algún tipo de ecuación con raíces; es decir unas matemáticas bastante avanzadas sobretodo sabiendo que en teoría Miles tiene 13 años... En teoría a esa edad debería estar en 8º grado del sistema educativo americano, donde ven poco más de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Así que o es una escuela de alto rendimiento o se han colado un poco con lo de la pizarra...

Por otro lado, si analizamos lo que ocurre en la escena, Miles acaba de sacar un 0 sobre 100, lo cual hace sospechar a la profesora ya que esta nota es muy improbable. ¿Por qué? Empecemos por definir lo que es una experiencia dicotómica: aquella que tiene solo dos resultados posibles (como el examen de Miles que es de Verdadero - Falso). Entendiendo que Miles contestara a una pregunta al azar tendría una probabilidad de 1/2 (o 50% como se suele decir) de acertar la respuesta.

Supongamos también que este experimento se repite varias veces (las 100 preguntas del examen). El comportamiento de este experimento sigue una distribución probabilística llamada Distribución Binomial. Esta distribución nos permite calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos sobre el total de veces que se repite el experimento de la siguiente forma:

Para el caso concreto del examen de Miles n = 100 pues son el número de preguntas del examen, y p y q son 0,5 (al tener las dos respuestas la misma probabilidad ya que contesta al azar). De esta forma la probabilidad de, por ejemplo, acertar 25 de las 100 preguntas sería:

Esta probabilidad es de 0,00000913139706451239

Lo bueno de la distribución binomial es la existencia de unas tablas por las que podemos obtener estas probabilidades sin necesidad de realizar los cálculos, lo cual es muy práctico. Estas tablas nos van dando cada probabilidad en función de n, p y x.

Ahora bien, la binomial nos da la probabilidad de éxito un determinado número de veces y no acumula probabilidades. Es decir nos dice cual es la probabilidad de que acierte 25 preguntas exactamente pero no 25 o menos, para lo cual tendríamos que ir sumando las probabilidades de que ocurra 1, 2, 3,... y hasta 25 veces.
Haciendo esto la probabilidad de acertar hasta 25 preguntas sería 0.00000281814101710270177  mientras que la de acertar 50 sería 0,5398 (se aproxima pero no es el 50% que decía Miles).

Además, P (X = 0), es decir, la probabilidad de fallar todas las preguntas es de 7.888609052210118·10^-31  así que normal que la profesora sospechara!!.

Debemos decir que la distribución binomial se puede aproximar a otra importante y conocida distribución de probabilidad: la distribución Normal. Esta aproximación la podemos hacer cuando tenemos una n grande, o mejor dicho cuando el producto de n por p es grande. La distribución Normal, a diferencia de la Binomial, sí nos da la probabilidad acumulada, y también tiene tablas que nos facilita tener que hacer los cálculos. De esta forma la probabilidad de que aprobar el examen, es decir de acertar al menos 50 preguntas sí que es exactamente de un 50%.

• ¿Qué te ha parecido este post? ¿Conocías estas distribuciones de probabilidad?
• ¿Has podido entender la distribución binomial? Piensa en casos en las que puede ser útil.
• Prueba a obtener probabilidades usando las tablas.
• ¿Conocías la película? ¿Qué te parece?

Como siempre te invitamos a opinar y a proponer películas para tratar en el blog.

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