Frozen y las fractales

¿Quién iba a pensar que una película de animación para niños nos serviría para presentar a las fractales? 

Pues así es. En "Frozen. El reino del hielo" (2013, Chris Buck y Jennifer Lee), el último éxito de Disney, y en concreto en su canción más famosa Let it go (canción Suéltalo en la versión en castellano) se las menciona, de la siguiente forma:

Puedes ver dicho momento en el siguiente video:

Es una pena que en la versión en castellano de la canción las fractales sean sustituidas por las espirales (otro término matemático, aunque bastante más conocido) quedando como:

"En las entraña de la tierra puedo entrar
mi alma crece y hace espirales sin parar"

Las distintas versiones de la canción son todo un éxito. La original cantada por Idina Menzel y versionada por Demi Lovato, la versión en castellano "Suéltalo" cantada por Gisela, y las versiones latinas de Violetta o Martina Stoessel (llamadas en este caso "Libre soy").

Centrándonos en su versión original, estamos seguros que en todo el mundo hay multitud de niños cantando sobre unas desconocidas fractales, que en este momento nos disponemos a presentar.

¿Qué son las fractales? Es un poco difícil de definir porque no todas las fractales cumplen las mismas características, aunque básicamente podríamos hablar de figuras (planas o en el espacio) que mantienen su apariencia independientemente de la escala a la que las observemos. En ellas vemos como la repetición de un proceso geométrico elemental da lugar a una una estructura final muy complicada.

Fue el matemático Mandelbrot quién en 1975 les puso ese nombre, derivado del vocablo latino fractus (quebrado). Aunque quizás el ejemplo más fácil de entender es el del matemático Sierpinski.

Para crear un "Triángulo de Sierpinski" partimos de un triángulo grande. A dicho triángulo, le colocamos otros tres triángulos en su interior, y repetimos este hecho sucesivamente:

Algo parecido podemos hacer con un copo de nieve, en concreto con uno descrito por el matemático sueco Helge von Koch , del que puedes saber más aquí. A simple vista este copo no tiene nada de especial, sin embargo si tuviéramos que calcular su perímetro este sería infinito, pues siempre nos encontrariamos con un nuevo vértice dentro de cada segmento. Lo cual es una paradoja. Este gift nos puede ayudar a entenderlo:

Aunque los copos que vemos en la película no son como los descritos por Koch, si que cumplen una de las características expuestas por Mendelbrot: la autosimilitud a distinta escala.

No es de extrañar que en la película aparezcan estas peculiares formas, pues las estructuras fractales se encuentran muy a menudo en la naturaleza, aunque no nos demos cuenta. Una vez más, las matemáticas nos rodean y no nos damos cuenta.